生命の期待値

　こんにちは、clastです。ＣＣ５に通いまくって、最近、やっとこ卒業致しました。ということで―――

　無事のれました！　プラズマストームの色も普通と違うみたいですね＠＠

　さっそく、正装を身につけてライドオン！

　ぶっちゃけイクリだと迫力負けの感は否めませんｗ　

　さて、今回は金つながりで生命の宝石についての記事です。だって生命って金を宝石の形に加工したっぽくないですか？　あ、そうですか；；

　この前の６周年イベントで生命が大量にバラ撒かれたのはみなさんの記憶にも新しいと思います。

　こういう時、某所で決まって見かけるレスが「生命確率悪すぎだろ！！」という愚痴ですｗ　そんな他愛ない愚痴レスから始まって、op１６までに要する生命の個数についてという、珍しくまともな議論が続くことになりました。

　あーでこーだから１６個じゃね？　いや、こーだから６４個だ！　まて、そりゃあれだから違うだろ

　そんな感じでなかなか興味深い流れでした。んで、白状しますと、僕もその流れに参加していましたｗ　その時は、ある程度の方向性までは決めた後、結局、これは手に負えないやと投げたんですけどねｗ

　ただ、投げたまんまではちょっともったないと思ったので、ここでもう一度紹介してみたいと思います。

　ちなみに僕は４～５年ほど昔に使っただけで、すでにサビつき、大半が風化した受験数学の知識しかありませんので、ご了承下さいｗ

　まず、生命が少ない数ですむ場合の確率を考えていきます。

　生命４個でop１６になる確率は１６分の１です（成功４連続）。　
　生命５個でop１６になる確率は３２分の１です（初回失敗の後、成功４連続）。

　では、生命６個のときは？　７個のときは？　だんだん複雑になっていきますね＾＾；　

　さらに、ちょっと考えればわかるようにop１６までに１億、１００億、いや無限に近い数の生命を消費する可能性も現実的ではないものの、あります。これがこの問題を一気に複雑化している理由です。

　さて、気を取り直していきましょう。

　今度はop１６までに使った生命の数をｎ（≧６,整数）とします。

　「ｎ個でop１６になる確率」はいくつでしょう？
　
　これさえわかれば、あとは期待値の公式に当てはめていけばＯＫです。

　しかし！　これを求めるのが、恐ろしく大変です＞＜；　ただ、感覚的には旧帝大理系の受験問題には出てきてもおかしくない程度だと思うので、数学者レベルでなくとも分かる人には分かるのではないかと思います。

　とりあえず、僕が取り組んでみてつまったところまでの流れを書きます。

　ｎ個生命を入れたときのラスト５回は、一度の失敗の後、成功×４とならなくてはなりません。

　したがって、求めたい確率は、（n－５個の生命を入れて一度もop１６とならない確率）×１/３２です。

　また、（n－５個の生命を入れて一度もop１６とならない確率）とは言いかえれば、

　「n－５個の生命を入れて一度も４連続成功がない確率」です。

　時間をかけて考えてはみたのですが、整理するのに莫大な手間がかかることが判明しましたT_T

　とりあえず求めたい値の出し方については、期待値の公式より

　４個でop１６になる確率×４
　５個でop１６になる確率×５
　６個でop１６になる確率×６
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　ｎ個でop16になる確率×ｎ

　の総和を出した後、ｎを極限大までとばして出る数値となります。

　したがって「ｎ個でop１６になる確率」がわからない限り、これ以上先には進めません。

　というわけで数学が得意な人、お助け願います！ｗ

　あと、これだけだと少し物足りないというか悔しいので、一矢報いる意味で、「生命が手元に１０個ある場合、その１０個以内でop１６になる確率と、そのときに使用する生命数の期待値」を手作業で出してみたいと思います。

４個でop１６になる確率は１/１６
５個でop１６になる確率は１/３２
６個でop１６になる確率は１/３２
７個でop１６になる確率は１/３２
８個でop１６になる確率は１/３２
９個でop１６になる確率は１５/５１２
１０個でop１６になる確率は２９/１０２４

　したがって１０個以内でop１６になる確率は251/1024で、大体、４分の１の確率になります。

　op１６になった場合使用する生命数の期待値は大体１．６個です。１．６個という明らかにおかしい値が出たのはサンプル数が少なすぎるってことなんでしょうね＾＾；

　５０～６０個でop１６になる確率まで出して、計算し直せばそれなりに妥当な値が出てくるのではないかと思います。
　
　そこまでやるのは恐ろしい手間なので、やりませんがｗ

　とりあえず、今回の記事の唯一の収穫として、みなさんの手元に生命が１０個とopNの装備があったとき、「２５１/１０２４の確率でop１６になるな」と思っていただければ幸いですｗ

　それでは、また！



　ごちゃごちゃしてて読むのに手間がかかるわりにしょーもない結果の記事だった；；